I. Mire mondjuk, hogy véletlenszerű?

A kérdést nem filozófiai oldalról kívánom vizsgálni, inkább hétköznapi értelemben kérdezem: mit is jelent az, hogy valami véletlen; mit tekintünk véletlennek? A bennünket körülvevő világ számos példát kínál véletlenszerű viselkedésre: előre nem tudhatjuk, hogy egy érme feldobásának eredménye vajon fej vagy írás, de a kártyajátékok leosztásait is véletlenszerűnek gondoljuk. Vagy vehetünk egy biológiai példát: milyen utód születik a szülők génjeiből? A genetika rendkívül összetett dolog, és az eredmény (az utód genetikai állománya) sok tekintetben véletlenszerűnek tűnik. Bár a véletlenszerű események végeredményét nem tudjuk előre jelezni, mégis szeretnénk magát az eredményt valamilyen módon jellemezni. Erre alkalmas mennyiség az eloszlás. Gondoljunk egyetlen egyszerű kísérletre: van egy nagy zsákunk, benne sok kis golyó, bennük (rajtuk) különböző információkkal. Most véletlenszerűen vegyünk ki egy golyót. A húzás eredménye, vagyis a golyón szereplő információ tetszőleges lehet (pl. a golyó színe, de akár egy teljes genetikai kód is). Amikor azt mondjuk, hogy az eredmény eloszlását próbáljuk leírni, akkor valójában arra teszünk kísérletet, hogy a zsák tartalmát írjuk le. Nem tudjuk, hogy melyik labdát választjuk majd ki, de azt tudjuk, hogy az adott eloszlás szerint milyen valószínűséggel kapunk egy adott információt. Ugyanis a zsák egészét képviselő tudásnak ez az információ a része. Valahogy így lehetne tehát a véletlent leírni.

A bennünket körülvevő fizikai világ sok folyamatának leírását is effajta véletlenszerű viselkedés mentén modellezhetjük: az ilyen fizikai rendszerek úgy írhatók le, hogy sok kis véletlenszerű bemenetből (eseményből) állnak, amelyek egymástól függetlenek lehetnek (pl. egy gázrészecske pályája), vagy akár kölcsönhatásban állhatnak egymással. Vizsgálhatjuk a rendszer globális tulajdonságait is: érdekes lehet számunkra a globális viselkedés, ami a sok kis véletlenszerű bemenet (esemény) összességéből áll elő. Mi fogalmazható meg az ilyen globális viselkedésről? Vajon előrejelezhető-e valamilyen szinten? Miképpen vezet a sok-sok egyedi véletlenszerűség ahhoz, hogy nagy léptékben létrejöjjön valamilyen szabályszerűség?

A fizika egy dinamikusan fejlődő területe, a statisztikus fizika olyan rendszerekkel foglalkozik, amelyek sok-sok mikroszkopikus részecskéből állnak. Az ilyen rendszerekre kis léptékben a véletlenszerűség, nagy léptékben (makroszkopikus szinten) pedig már valamiféle rendezettség a jellemző. Ilyen jellemző például egy atomokból álló gáz hőmérséklete. A statisztikus fizika az ilyen rendszerekre makroszkopikus szinten megfogalmazható törvényeket a mikroszkopikus szerkezetből igyekszik levezetni. Ebben az esetben tehát a mikroszkopikus véletlenszerűség egy determinisztikus makroszkopikus rendszert alkot. Ha egy kísérletet azonos feltételek mellett többször megismétlünk, akkor a fizika által előre jósolt törvényszerűség beigazolódik. Az eredmény minden esetben azonos lesz, noha kis léptékben rendezetlenséget tapasztalunk.

II. Véletlenszerű bolyongás

 

Képzeljünk el egy koordinátarendszert, amelynek vízszintes tengelye mentén jobbra felfelé vagy jobbra lefelé lépkedhetünk. Vegyünk egy pénzérmét, és feldobással döntsük el, hogy melyik irányba lépünk: ha a dobás eredménye fej, akkor jobbra felfelé mozdulunk, ha írás, akkor jobbra lefelé. Az 1-3. ábrán egy ilyen kilenc lépésből álló bolyongás három különböző kimenetelét láthatjuk. A kékkel megrajzolt útvonalat matematikai értelemben egy véletlen függvény grafikonjának is tekinthetjük.

Nézzük tovább, mi történik akkor, ha bolyongásunk 100 lépésből áll. Példaként ismét három különböző eredményt láthatunk a 4-6. ábrán. De milyen eredményt kapunk, ha a bolyongás egyre több és több lépésből áll? A 7-9. ábrán három olyan kimenetelt láthatunk, amely mind 1600 lépésből áll. A 10000 lépés esetén kapott három példát a 10-12. ábra mutatja. Ahogy a lépések száma nő, a grafikon egyre kevésbé tűnik "görbének". Annak dacára, hogy a grafikont meghatározó lépések véletlenszerűek, a grafikon maga egyre laposabb, egyre inkább a vízszintes tengelyhez simul. Ez leginkább a 2,5 millió lépés esetén (13. ábra) szembeötlő: a vízszintes tengellyel szinte megegyező egyenes szakaszt kapunk. Mit jelent mindez?

 

Matematikai értelemben a nagy számok törvényével találkozunk. Képzeljük el, hogy van egy óriási zsákunk, amely tartalmazza az összes egymillió lépésből álló bolyongást. Ekkor a zsákunkban összesen 2^10000000 (kettő az egymilliomodikon) darab golyó van, ami egy elképzelhetetlenül nagy szám, összehasonlíthatatlanul nagyobb, mint ahány részecskéből az Univerzum áll. A nagy számok törvénye azt állítja, hogy a golyók, azaz a lehetséges bolyongások grafikonjainak nagy többsége nagyjából vízszintes vonalat eredményez. Persze arra is van lehetőség, hogy például folyamatosan fölfelé haladjunk, hiszen elvileg előfordulhatna, hogy egymás után egymilliószor fejet dobunk. Ez azonban egyáltalán nem valószínű (kisebb a valószínűsége, mint annak, hogy valaki élete során minden héten ötös találatot ér el a lottón). Ez tehát egy olyan rendszer, amely mikroszkopikus szinten - az érmefeldobás eredményét tekintve - véletlenszerűséget mutat, makroszkopikus szinten pedig determinisztikus.
A nagy számok törvényét alkalmazzák a közvéleménykutatók is: amikor társadalmi csoportok véleményének felmérését végzik, nem szükséges megkérdezni az adott csoport minden egyes tagját, elegendő a felmérést egy megfelelően kiválasztott mintán elvégezni. Esetünkben - a pénzdobálós-lépkedős játékban - arról van tehát szó, hogy a véletlenszerű fel-lelépkedések "kiátlagolódva" egy determinisztikus átlagszámot, középértéket eredményeznek.

III. Fürdőszoba burkolása mozaiklapokkal

Képzeljük el, hogy van egy szabályos hatszög alakú fürdőszobánk, amelyet szeretnénk kicsempézni. A feladathoz három különböző típusú rombusz alakú burkolólapot használhatunk fel. A hatszög csúcsaihoz illeszkedő egybevágó rombuszok a hosszabbik átlójuk irányát tekintve háromféle tájolásúak lehetnek, ennek megfelelően legyenek különböző színűek (pl. piros, sárga, kék). A lapokat véletlenszerűen szeretnénk lefektetni. A 14. ábrán a hatszög egy lehetséges lefedését láthatjuk. Ha a képet három dimenzióban tekintjük és a kép középpontjára egy szoba sarkát képzeljük, a burkolási feladat átfogalmazható úgy is, hogy egy kocka alakú szobában kartondobozokat helyezünk el egymáshoz és a szoba falaihoz illeszkedve (most a kocka alakú kartondobozok oldalait térbeli orientációjuk szerint kéknek vagy sárgának látjuk, tetejük pedig piros). Az átfogalmazott feladat tehát: hogyan lehet egy nagy kocka alakú szoba egyik sarkában elhelyezni a sok kis kockát. Minden egyes csempézési megoldásnak megfeleltethető egy kartondobozokból álló rakás, azaz matematikai értelemben a két feladat között egyértelmű megfeleltetés van.

Vajon milyen eredményre jutnánk, ha az előzőnél (a 15. ábrán bemutatottnál) jóval nagyobb fürdőszobát választanánk? Egy ilyen nagyon nagy fürdőszoba véletlenszerű csempézésének egy eredménye a 15. ábrán látható. (Itt már az egyes rombuszcsempék olyan aprók, hogy külön-külön nem is látszanak.) Az eredményen megfigyelhető, hogy a hatszög csúcsainál ismét ún. "befagyott" (homogén színű) régiók vannak. A belső részen viszont bizonyos fokú rendezetlenséget tapasztalunk és ennek a régiónak az alakja körhöz közelít. Ezek olyan determinisztikus tulajdonságok, melyek matematikai tételben is megfogalmazhatók.

Ha egy pillanatra visszatérünk a feladat "kartondoboz-bepakolásos" átfogalmazásához, és ilyen szemmel tekintünk a 6. ábrára, mindjárt megértjük, miért szükségszerű a sarkok körüli "befagyás". Annyit érdemes megjegyezni, hogy (itt nem részletezett okok miatt) a színek nem egészen függetlenek egymástól. Ha azt mondjuk, hogy a sárga mellé egy kék kell hogy kerüljön valamiféle törvényszerűség miatt, akkor az már részben meghatározza, hogy milyen végső alakzatot kapunk. A színre vonatkozó információk tovaterjednek, végül pedig kiderül, hogy a rendszer egymástól nem egészen független részecskékből tevődik össze. Érdekességként hadd említsem meg, hogy amennyiben a középső régióban eredményül kapott körhöz közelítő struktúrát három dimenzióban, tehát térbeli felületként vizsgáljuk, akkor ez a felület egy determinisztikus felülethez közelít. Sőt ha optimális stratégiát kidolgozva a lehető legtöbb kartondobozt akarjuk elhelyezni egy ekkora térrészben, akkor az eredményül kapott háromdimenziós kép egy ilyen nagyon determinisztikus felületet fog eredményezni.

Végül - még mindig a fürdőszobás példánál maradva - tegyük fel, hogy az egyik sarokba egy zuhanykabint építünk be, így már nem egy hatszögünk van, hanem a 16. ábrán látható sokszög. Ez esetben is kialakulnak a befagyott sarkok, de a középső determinisztikus alakzat nem kör, hanem egy szívhez hasonló alak lesz. A probléma elméleti tárgyalására a közelmúltban került sor. A téma iránt érdeklődők figyelmébe ajánlom David Bruce Wilson matematikus kollégám honlapját, ahonnan az imént bemutatott csempemintázatokat kölcsönöztem.

A természetben sok olyan rendszer létezik, amelyre nagy léptékben rendezettség, kis léptékben véletlenszerűség jellemző. Itt említem meg Srinivasa S. R. Varadhan indiai származású amerikai matematikust (az Abel-díj 2007-es kitüntetettjét), aki az egyensúlyi állapotából kibillentett komplex sztochasztikus rendszerek viselkedését vizsgálta, és eredményeit széles körben alkalmazzák a meteorológiától kezdve a gazdasági folyamatokon és a népesedési modelleken át a forgalomtervezésig.

IV. Makroszkopikusan véletlen rendszerek

Lássunk most példát olyan rendszerekre, melyek nagy léptékben is véletlenszerűen viselkednek! Térjünk vissza az érmedobáláshoz, és tételezzük fel, hogy érménket 101-szer feldobjuk és azt vizsgáljuk, vajon a fej vagy az írás fordul-e elő többször. A szimmetria okán (hiszen nincs semmilyen elvi különbség fej és írás között) a válasz az, hogy 50 % esély van arra, hogy több lesz a fej, és 50 % arra, hogy több az írás. 50-50 % az esély akkor is, ha 1000001-szer dobjuk fel az érmét (az egyenlőség elkerülése érdekében páratlan számot kell választanunk).

A véletlenszerű makroszkopikus viselkedéssel kapcsolatban - kis kitérőt téve - ismerkedjünk meg a stabilitás kérdésével. Az 17. ábrával kapcsolatban el kell áruljak egy titkot: nem vettem a fáradságot, hogy 2,5 milliószor feldobjam a pénzérmét, hanem kerestem egy alkalmas számítógépet, amely megtette ezt helyettem. Tegyük fel, hogy páratlan számú alkalommal valóban feldobunk egy pénzérmét, és az eredményt számítógépre visszük. Elképzelhető, hogy a számítógép a feldobások eredményeinek beolvasásakor egyszer hibázik és például írás helyett fejet rögzít. Vajon miként hat ez a makroszkopikus eredményre? A 16. ábra azt mutatja, milyen eredményre jutnánk 1600 lépésszámú véletlen bolyongás esetén, ha a pénzfeldobások leolvasása során 1 %-ban tévednénk, és írás helyett fejet rögzítenénk.

Mikor kapunk makroszkopikusan véletlenszerű viselkedést? Az első dolog, hogy a helyes kérdést kell feltennünk. Ha nem azt kérdeznénk, hogy több lesz-e a fej, mint az írás, hanem például azt, hogy "vajon több lesz-e 60 %-nál a fej előfordulási valószínűsége?", akkor a válasz nyilván nemleges, hiszen tudjuk, hogy közel 50 % az esély. Tehát akkor láthatunk véletlenszerűséget, ha kérdésünkkel kellően "ráközelítünk" a determinisztikus viselkedésre.

Megtörténhet azonban, hogy van valamiféle paraméter, amely változtatható. Statisztikus fizikai rendszerek esetén a hőmérséklet jellemzően ilyen paraméter: a hőmérséklet ingadozhat. A rendszer által adott válasz általában determinisztikus: tegyük fel például, hogy egy adott T hőmérsékletű anyag esetében rendre azt tapasztaljuk, hogy az gázhalmazállapotban van. Ha a hőmérsékletet csökkentjük, akkor egy kritikus hőmérsékletnél a gáznemű anyag folyadék lesz. E kritikus hőmérséklet alatt a korábbi determinisztikus eredmény (hogy tehát az anyag gáznemű) megváltozik. Ezt hívják a fizikusok fázisátmenetnek. Makroszkopikus fázisok, makroszkopikus viselkedések közötti átmenetről van szó. A kritikus hőmérsékleten makroszkopikus léptékben kétféle eredményt kaphatunk: anyagunk vagy gáznemű, vagy folyékony. E pillanatban tehát a rendszer makroszkopikusan véletlenszerűvé (instabillá) válik. És valóban: a fizikusok tanúsíthatják, hogy a kritikus hőmérsékletnél mennyi sok érdekes, véletlenszerű jelenségnek lehetünk tanúi.

V. Az átszivárgás (perkoláció) jelensége

Vegyünk egy egybevágó szabályos hatszögekkel lefedett rácsot a síkon és a hatszögcellákat színezzük fehérre vagy feketére a szerint, hogy az érmefeldobás eredménye fej vagy írás (18. ábra). Tekintsük azokat az alakzatokat ("fürtöket"), amelyeket egymással összeköttetésben álló fekete hatszögek alkotnak! Vajon milyen alakúak lehetnek ezek az egyszínű összefüggő "szigetek"? A 19. ábrán az előbbihez hasonló, de annál sokkal nagyobb felbontású hatszögrácsot láthatunk. Azt tapasztaljuk, hogy a fekete-fehér szimmetriából adódóan az összefüggő alakzatok kialakulása véletlenszerű. Nézzük meg, miért.

 

Tételezzük fel, hogy ebben a nagy rendezetlenségben kiválasztunk egy rombusz alakú részletet (20. ábra). Legyenek a rombusz egyik oldalélén a hatszögek csak fehérek, és hasonlóképpen az átellenes oldalon is csak fehérek. A másik két átellenes oldalél pedig legyen fekete. Vizsgáljuk meg, hogy van-e fehér mezőkből álló összeköttetés az átellenes fehér oldalak között, vagy hasonlóan: van-e fekete mezőkből álló összeköttetés a két átellenes fekete oldalél között. A 20. ábrán a fekete győzött, hiszen van egy összefüggő fekete út a két fekete oldalél között. Mi ennek (a fekete út létezésének) a valószínűsége? A szimmetria okán kijelenthető, hogy 50-50 % az esélye annak, hogy fekete vagy fehér összeköttetést találjunk (hiszen ha van fekete út, akkor nem lehet fehér, és fordítva). Ha egy nagyobb rombuszt választunk, az esély ugyanígy 50 %-os (21. ábra). Ez azt jelenti, hogy amennyiben a 19. ábrán bemutatott nagy felbontású rács belsejébe egy tetszőleges nagyságú rombuszt képzelünk, 50 % esély van arra, hogy lesznek olyan fekete cellák, amelyek összekötik a képzeletbeli rombuszunk két átellenes oldalát. Akármilyen nagy tehát az alakzatunk, mindenképpen lesz olyan véletlenszerű tulajdonsága, amely kisebb léptékben is megmutatkozik. Ez a véletlenszerűség esetünkben az összefüggő (azonos színű szomszédos cellákból álló) fürtökben mutatkozik meg. A 22. ábrán egy ilyen összefüggő szigetet láthatunk, amely a 19. ábrának a része. Az ilyen szigetek alakja véletlenszerű.

Példát mutattunk tehát arra, hogy a mikroszkopikus léptékű véletlenszerűség hogyan nyilvánul meg makroszkopikus léptékben. Vajon ezek a véletlenszerű alakzatok kialakulásukban, megjelenésükben korlátozottak-e, amikor a háló mérete egészen kicsi, vagy épp ellenkezőleg, egészen nagy? Nos, kiderült, hogy a véletlenszerű elemekből összeálló nagyméretű rendszer (esetünkben tehát a véletlenszerű szigetek) felépítése instabil. Ez némileg ellentmond az intuíciónknak, de nézzük, mit is jelent ez pontosan! Azt tapasztaljuk, hogy egészen kis változtatással teljesen más eredményre jutunk. Tekintsük példaként a 23. ábrán látható rombuszt! A sárga pontokkal megjelölt fehér cellák döntő fontosságúak, hiszen ha közülük bármelyik fekete lenne, akkor fekete összekötő út alakult volna ki a rombusz két átellenes fekete oldala között. Egy nagyon nagy rendszerben az ilyen kritikus helyek sűrűn fordulnak elő. Az instabilitás abban mutatkozik meg, hogy ha csupán az esetek 1%-ában hibásan rögzítjük az állapotokat (tehát hogy fekete vagy fehér-e az adott cella) akkor a nagy léptékben mérhető végeredmény (az összefüggő alakzat) teljesen megváltozik.

A véletlenszerű összefüggő alakzatok tulajdonságait ma már matematikai állítások formájában is megfogalmazhatjuk. Tekintsünk egy nagy, NxN cellából álló rácsot! Ha ebben kiválasztjuk a legnagyobb összefüggő alakzatot, akkor annak a határoló vonala közelítőleg N^3/4 darab cellából áll. Továbbá azt is bebizonyították, hogy a legnagyobb fürtben kb. N^91/48 darab cella található. Az ilyen nagy szigetek alakjának a véletlenszerűsége bizonyos értelemben univerzális, és más területen is megjelenik, mint például a síkbeli bolyongás problémaköre. Síkbeli bolyongás esetén egy képzeletbeli négyoldalú kockát dobálunk, és ha 1-est dobunk, akkor felfelé, ha 2-est, lefelé, ha 3-ast, jobbra, ha 4-est, akkor balra lépünk egyet. Az eredményül kapott 24. ábrán látható útvonal jellegében a 22. ábrán látható perkolációs alakzatra fog emlékeztetni, bár annyiban eltér tőle, hogy a belső rész sokkal sötétebb, sokkal sűrűbb. A belső tehát eltérő, de a külső határt is érdemes megfigyelni (25. ábra). Bebizonyítható, hogy a kétdimenziós bolyongás külső határoló vonalának alakja - adott paraméterek mellett - jellegében megegyezik a perkolációs probléma eredményeként kapott összefüggő fürt külső határával.

VI. A kávéfőzés matematikája

A "perkoláció" matematikai kifejezés a kávéfőzőre utal: a kávéfőzés egy jó példa arra, hogyan fogalmazható meg az átszivárgás matematikai problémája: a felforrósított nagynyomású víz a hőmérséklet emelkedésével egy kritikus ponton képes lesz áthaladni a kávéőrleményen. Ebben a pillanatban a rendszer olyan, mint az a korábban tárgyalt kritikus rendszer, amelyben 50 %-ban megkapjuk a két szemközti oldalélt feketével (vagy éppen fehérrel) összekötő útvonalat. Persze nem egyenes útról van szó, hanem sokkal hosszabbról. Ezért erősebb a presszógépben főzött kávé, hiszen a víznek sokkal hosszabb utat kell megtennie az őrleményen keresztül, mint a filteres kávéban.

Összegzésként elmondható, hogy matematikai értelemben a makroszkopikusan véletlenszerű viselkedést bizonyos - és itt hangsúlyozni kell: kivételes - esetekben le tudjuk írni. Két dimenzióban megfogalmazható feladatok (mint pl. a síkbeli perkoláció) esetén még aránylag jó a helyzet, de három dimenzióban egyelőre nagyon távol állunk attól, hogy a kritikus jelenségeket matematikailag kezelni tudjuk.