I. Van-e abszolút igazság?

Erről a kérdésről szól Rényi Alfréd gyönyörű írása, a Dialógus a matematikáról (1961 -1. ábra). Első gondolatom az volt, hogy előadás helyett ezt az írást olvasom fel, de talán mégis jobb, ha mindenki egyénileg olvassa el. Mindenesetre a Dialógus nyomán fogunk elindulni. A beszélgetés Szókratész és az ifjú Hippokratész (a későbbi matematikus, nem az orvos) között zajlik. Ennek során azt a kérdést is megvizsgálják, hogy a matematika mennyiben ad biztosabb és csalhatatlanabb tudást, mint bármely más ismeret. Hippokratész idézi tanítómesterét, Theaitetoszt, aki számos példát említ: nem mondhatjuk meg pontosan, hogy milyen messze van Spárta Athéntől, sem azt, hogy pontosan hány ember él Hellászban. Ezzel szemben, ha a matematikában azt mondjuk, hogy egy dodekaédernek 30 éle van, ez pontos és megkérdőjelezhetetlen állítás. Nincs két egyforma tojás, ezzel szemben egy téglalap átlói pontosan egyenlők. Minden, ami van, változik - idézik Hérakleitoszt -, biztosat csak arról tudhatunk, ami változatlan, mint például a páros meg a páratlan, a kör meg az egyenes. Szókratész hozzátesz egy bűnügyi példát: egy pert említ, amelyben sem a vádlott bűnösségét, sem az ártatlanságát nem lehetett teljes bizonyossággal megállapítani.

A mindennapi élet igazságai tehát bizonytalanok, ellenőrizhetetlenek, gyakran megállapíthatatlanok. Pilátus kérdése: "micsoda az igazság?" is valami ilyesmire vonatkozik. (A modern fordítások hozzáteszik, hogy Pilátus legyint vagy vállat von, amikor ezt kérdezi. A kérdés csak Jánosnál szerepel; jellemző, hogy a valóságra vonatkozó igazság megkérdőjelezését éppen egy görög szerző tartotta fontosnak beilleszteni a történetbe.) Ha tehát abszolút igazságot keresünk, csak a szellemi világban találhatjuk meg. De melyikben? A vallások igazságai ellentmondanak egymásnak, a filozófia igazságai úgyszintén. A társadalomtudományok igazságai gyakran az ideológia, az eszmei alapállás függvényei. Maradnának a "kemény" természettudományok. Ezeknél viszont az új kísérleti eredmények folyton módosítják vagy pontosítják a korábban megállapított igazságokat, néha meg éppenséggel felrúgják azokat (ezt szokták "paradigmaváltásnak" nevezni).

Úgy tűnik tehát, hogy csakis a matematika képes abszolút és megdönthetetlen igazságokat megállapítani. Milyen módon teszi ezt? Térjünk vissza a Dialógushoz. Szókratész rávilágít, hogy ennek a titka abban áll, hogy a matematika nem a bizonytalan és megfoghatatlan létezőkkel, hanem "elgondolt dolgokkal" (számokkal és absztrakt formákkal) foglalkozik, amelyeket precízen definiál minden kétértelműség nélkül, éppen azért és úgy, hogy a róluk megállapított igazságok megkérdőjelezhetetlenek legyenek. "Így könnyű!" - mondhatnánk erre. És valóban, így tekintve a matematika nem más, mint absztrakt fogalmakkal való játék, és ha az igazságai abszolútak is, az igazságainak érvénye egy elvont, távoli, nem létező világra szorítkozik. Mi értelme van ennek? Nos, erre a kérdésre Szókratész így válaszol a Dialógusban: a matematika igazságai végül is a valóságról szólnak.  Ha a kör egy tulajdonságát megismerjük, ezzel minden kör alakú dologról megtudunk valamit. Éppen azért kell elvonatkoztatni, hogy a részletek ne zavarjanak. A valóság bonyolult viszonyait tesszük átláthatóvá és vizsgálhatóvá, ha messzebbről nézve, az absztraktum felől tekintünk rájuk. Mint tudjuk, Galilei egyenesen úgy fogalmazott (bár nem pontosan ezekkel a szavakkal), hogy a természet nyelve a matematika.

Meg kell azonban jegyezni, hogy nem mindenkit győz meg ez az egyszerűnek látszó érvelés. Wigner Jenő egy híres tanulmányában ezt a kérdést boncolgatva így fogalmaz: "A csoda, a matematika nyelvének alkalmas volta a fizika törvényeinek megfogalmazására, varázslatos adomány, melyet nem értünk és nem is érdemlünk meg." Mégis, a matematika és a valóság szoros kapcsolata kétségbevonhatatlan. Mindenki tudja, hogy a matematika eredményei nélkül nem lennének hidak, mobiltelefonok és nem lenne internet. De a kapcsolat fordítva is létezik: a matematika fejlődésének egyes forradalmi szakaszait (bár nem mindegyiket) egyértelműen a valóság megismerésének a vágya motiválta. Ilyen forradalom volt a kalkulus (a differenciál- és integrálszámítás) és a valószínűségszámítás megalkotása a 17. században, a modern analízis fejlődése a 18. és 19. században vagy a kombinatorika és a dinamikus rendszerek elméletének megteremtése a 20. században.

A matematikus tehát abszolút igazságokat kutat. Hogyan csinálja ezt? Lehet-e még új igazságokra bukkanni a matematikában? Egyáltalán, mivel foglalkozik egy matematikus? Nos, a matematikusok problémákat oldanak meg és elméleteket gyártanak. Ez a két tevékenység tulajdonképpen ugyanaz: egy nehéz probléma megoldásához általában elméletet kell gyártani (vagy a módszerből elmélet lesz később), egy elmélet megalkotása pedig sok kis lépésből áll, és minden lépés egy-egy probléma megoldását jelenti. Itt nincs mód arra, hogy az elméletalkotást illusztráljam vagy bemutassam. De a matematikai problémák közül néhányat meg tudok mutatni.

II. Három klasszikus geometriai probléma

A mai értelemben vett matematikával az ókori görögök kezdtek foglalkozni az i. e. 6. században (Thalész és Püthagorász). A matematikának azt a formáját, ahogy ma is ismerjük és műveljük, az i. e. 5. században alakították ki. (A matematika egyik büszkesége, hogy 2500 éves folyamatos múltra tekint vissza. Ez bizonyos értelemben igaz lehet a csillagászatra, orvostudományra vagy a zeneelméletre is. De ebben a tekintetben a matematika egyedisége az, hogy kumulatív tudomány: a későbbi felfedezések nem csorbítják a korábbiak érvényét; legfeljebb hozzátesznek, vagy új megvilágításba helyezik azokat. A klasszikus görögség matematikai teljesítménye ma éppolyan értékes és csodálatra méltó, mint 2500 évvel ezelőtt volt.) Ebben az időben fogalmazták meg a három klasszikus geometriai problémát, amelyek sok évszázadon át lázban tartották a matematikusokat. Mind a három probléma a geometriai szerkeszthetőségre vonatkozott. Itt egy alakzat szerkeszthetőségén azt értjük, ha az körző és (jelöletlen) egyenes vonalzó segítségével véges számú lépésben előállítható. Az animáción példaként a szabályos ötszög szerkesztésének lépéseit mutatjuk be.
Animáció ^|1}| : Szabályos ötszög szerkesztése körző és vonalzó segítségével

Az első probléma a kör négyszögesítése volt. A kérdés az volt, hogy lehetséges-e egy adott körrel azonos területű négyzetet szerkeszteni. Ezzel ekvivalens kérdés, hogy lehetséges-e egy adott körrel azonos hosszúságú szakaszt szerkeszteni. (Az ekvivalencia itt azt jelenti, hogy ha ismerünk valamelyikre egy megoldást, abból egyszerűen kaphatunk megoldást a másikra.) A kérdés az i. e. 5. század második felében olyan népszerű volt, hogy Arisztophanész a Madarakban (i. e. 414) már gúnyolódik a körnégyszögesítőkön. A probléma mindig is a köztudatban maradt. Még Thomas Mann Varázshegyében is van egy szereplő (Paravant államügyész), aki megszállottan keresi a megoldást.

Hippiász már az i. e. 5. században felfedezte a quadratrix nevű görbét (lásd az animációt) egy megoldási kísérlet gyanánt. Ez persze nem "szabályos" megoldás, tehát nem megoldás a probléma eredeti követelményei szerint, és ezzel maga Hippiász is tisztában volt.
Animáció ^|2}| : A quadratrix előállítása

A második klasszikus geometriai probléma a szögharmadolás kérdése: lehetséges-e egy adott szög egyharmadát megszerkeszteni? A quadratrix erre is megoldás (animáció). Már Arkhimédész tudta, hogy a szögharmadolás az ún. "betoló vonalzóval" elvégezhető (2. ábra). Persze egyik megoldás sem szabályos.

Animáció ^|3}| : Szögharmadolás quadratrix segítségével

A harmadik klasszikus geometriai probléma az ún. déloszi probléma vagy kockakettőzés: olyan kockát kell szerkeszteni, amely kétszer akkora térfogatú mint egy adott kocka. (Egy ókori legenda szerint a délosziak azt a jóslatot kapták, hogy csak akkor háríthatják el a pestisjárványt, ha Apollón templomában a kocka alakú oltár helyett kétszer akkorát állítanak.) A kockakettőzés is megoldható betoló vonalzóval. Még számtalan más (nem szabályos) megoldást találtak az évszázadok során, de szabályosat egyet sem.

A három klasszikus problémát csak a 18. század végén és a 19. században sikerült megoldani a szó negatív értelmében: bizonyítást nyert, hogy egyik sem oldható meg. Mindegyik probléma bizonyos távolságok szerkesztését kívánja. Ez körnégyszögesítésnél a , szögharmadolásnál a cos20° (ha a 60°-os szöget akarjuk harmadolni), kockakettőzésnél pedig a . Mármost egy  távolság csak akkor lehet szerkeszthető, ha  gyöke egy olyan egész együtthatós egyenletnek, amely nem  egyszerűsíthető, és a foka 2-nek egy hatványa. Ezt Carl Friedrich Gauss (3. ábra), minden idők egyik legnagyobb matematikusa fedezte fel még 20 éves kora előtt, 1796 körül. Mivel gyöke a nem egyszerűsíthető x³ - 2 = 0  egyenletnek, ezért a kockakettőzés euklidészi szerkesztéssel lehetetlen. Hasonlóan, az  szám gyöke a nem egyszerűsíthető x³ - 3x - 1 = 0  egyenletnek, ezért a szögharmadolás euklidészi szerkesztéssel szintén lehetetlen.
Itt érdemes megállni egy pillanatra. Gauss felfedezése valaminek a lehetetlenségét állítja: lehetetlen olyan szerkesztést találni, amely éppen  hosszúságú szakaszt produkál. A fenti okoskodás szerint nem azért, mert ügyetlenek vagyunk vagy még nem találtunk rá a megoldásra, hanem egyszerűen azért, mert ilyen szerkesztés nem létezik. Egy ilyen eredmény jól illusztrálja a matematikai igazságok abszolút voltát még akkor is, ha csak egy negatív eredményről van szó.

Mark Kac és Stanislaw Ulam ezt írják erről Matematika és logika című könyvükben: "A matematikai gondolkodásmód sajátos és egyedi jellege leginkább a lehetetlenségi bizonyításokban mutatkozik meg. Amikor kijelentjük, hogy a kockakettőzés (azaz  szerkesztése körzővel és vonalzóval) lehetetlen, akkor ez az állítás nem a képességeink vagy lehetőségeink átmeneti korlátozottságára utal. Ennél sokkal többet állít; azt mondja, hogy soha senki, semmilyen körülmények között sem lesz képes a -t megszerkeszteni vagy egy általános szöget harmadolni, ha csupán körző és vonalzó áll a rendelkezésére. Semmilyen más tudomány, sőt az emberi törekvések egyetlen más területe sem álmodozhat ilyen visszavonhatatlan véglegességről."

A körnégyszögesítés problémája nehezebbnek bizonyult. Egy  hosszúságú szakasz nem azért nem szerkeszthető, mert gyöke egy nem 2-hatvány fokú nem egyszerűsíthető egyenletnek (úgy mint a vagy a cos20°), hanem azért, mert a  ún. transzcendens szám, azaz nem gyöke semmilyen egész együtthatós egyenletnek sem! Ennek a bizonyítása több lépésben történt. Először Joseph Liouville francia matematikus  mutatta meg 1851-ben, hogy transzcendens számok léteznek. Több mint 20 év kellett hozzá, amíg Charles Hermite 1873-ban megalkotott egy módszert, amellyel bizonyos számokról be tudta bizonyítani, hogy transzcendensek. Hermite megmutatta, hogy a természetes logaritmus alapszáma transzcendens. Végül Ferdinand Lindemann (4. ábra) volt az, aki Hermite módszerét továbbfejlesztve 1882-ben megmutatta, hogy  transzcendens, és így a körnégyszögesítés sem oldható meg euklidészi szerkesztéssel. Amikor Lindemann publikálta a felfedezést, világszerte ünnepségeket rendeztek a tiszteletére, és azonnal felajánlottak neki egy katedrát Göttingenben.

III. Néhány ma is megoldatlan probléma

A három klasszikus geometriai probléma tehát a 19. század végére megoldódott. De a régi görögök több olyan problémát is ránk hagyományoztak, amelyet még ma sem tudunk megoldani. Két ilyen probléma az ún. tökéletes számokkal kapcsolatos. A tökéletes szám definícióját Euklidésznél találjuk: egy szám tökéletes, ha egyenlő az osztói összegével. (A számot magát nem számítva az osztók közé, de az 1-et igen.) Így pl. 6=1+2+3 vagy 28=1+2+4+7+14. Euklidész receptet is ad a tökéletes számok konstrukciójára (IX. könyv 36. tétel): "Ha az egységtől kezdve kétszeres arányban képezünk egy mértani sorozatot, amíg a sorösszeg prím nem lesz, és az összeggel megszorozzuk az utolsó tagot, akkor a szorzat tökéletes szám lesz." Mai jelöléssel ez azt jelenti, hogy  tökéletes szám lesz, feltéve, hogy az   összeg prím. Így például a  tökéletes szám, mert az 1+2=3 prím, és a  tökéletes szám, mert az 1+2+4=7 prím. Mármost itt két kérdés merül fel.

Egyrészt, vajon megadja-e ez a recept az összes tökéletes számot? Leonard Euler, a 18. század legnagyobb matematikusa (5. ábra) bebizonyította, hogy a páros számok körében nincs más tökéletes szám, csak az Euklidész által leírtak. De mi a helyzet a páratlan számokkal? Mivel Euklidész receptje csak páros számokat produkál, ezért a kérdés valójában úgy szól, hogy vannak-e egyáltalán páratlan tökéletes számok? Ez a kérdés 2300 éve megoldatlan. Hiába a folyamatos keresés és hiába a szupergyors számítógépek, még egyetlen páratlan tökéletes számot sem sikerült találni. De azt sem sikerült belátni, hogy nincs ilyen szám, tehát a keresés hiábavaló lenne. Pillanatnyilag annyit tudunk, hogy a legkisebb páratlan tökéletes szám (ha létezik ilyen egyáltalán) legalább 300-jegyű kell, hogy legyen. A részleteket illetően az érdeklődők figyelmébe ajánlom a http://www.oddperfect.org weboldalt.

 

A másik alapvető kérdés Euklidész algoritmusával kapcsolatban az, hogy hány tökéletes számot kaphatunk meg ilyen módon? Azaz: hány páros tökéletes szám van? Vajon végtelen sok van-e, vagy a tökéletes számok sorozata egy ponton véget ér? A tökéletes számok vadászata 2300 éve folyik. Mivel csak Euklidész receptje áll a rendelkezésükre, ezért a matematikusok  alakú prímszámokat keresnek (hiszen ebből , 2ⁿ-nel való szorzással tökéletes számot kapunk). Ezeket Mersenne-prímeknek nevezzük egy 17. századi matematikus és szerzetes után, aki először állított össze egy táblázatot az ilyen prímekből. Például a 7 egy Mersenne-prím, mivel 7 = 2³ - 1 = 8 - 1, és hasonlóan: 31 = 2⁵ - 1 = 32 - 1. (Nem minden esetben kapunk prímet! Pl. a 2¹¹ - 1 = 2047 nem prím: .) Az alábbi internetes oldalon azt követhetjük nyomon, hogy éppen hol tart a Mersenne-prímek utáni vadászat: http://en.wikipedia.org/wiki/Mersenne_primes.

Minden jel arra mutat, hogy a Mersenne-prímek sorozata (és így a páros tökéletes számok sorozata is) végtelen, e tény bizonyítása azonban meghaladja a jelenlegi tudásunkat. Sokan ezt a kérdést olyan reménytelennek tartják, hogy úgy fogalmaznak: az emberiség talán sohasem fogja megtudni, hogy van-e végtelen sok tökéletes szám vagy nincs. Persze ezekkel a jóslatokkal csínján kell bánni.

1900-ban tartották Párizsban a matematikusok második nemzetközi kongresszusát. (Az első 1897-ben volt.) Ezen a kongresszuson David Hilbert (6. ábra) tartott bevezető előadást. 23 problémát fogalmazott meg, melyekkel mintegy programot adott a 20. század matematikai kutatásainak. Hilbert a 7. problémában azt a kérdést fogalmazza meg, hogy milyen természetűek azok az  alakú hatványok, ahol  és  ún. algebrai számok, azaz egész együtthatós egyenletek gyökei. (Ismeretes, hogy két algebrai szám összege és szorzata is algebrai, így természetes a kérdés, hogy mit mondhatunk a hatványaikról.) Ha ß törtszám, akkor könnyen láthatóan  is algebrai, ezért tegyük fel, hogy ß nem törtszám, vagyis irracionális. Azt is tegyük fel, hogy  és  mert különben a hatvány értéke szintén 0 vagy 1, ekkor tehát a kérdésre tudjuk a választ. Hilbert megfogalmazta azt a sejtést, hogy a fenti feltételek mellett az  hatvány transzcendens szám lesz. Így például Hilbert sejtése szerint  transzcendens szám. Hilbert azon a véleményen volt, hogy ez a kérdés valószínűleg reménytelenül nehéz, és talán sohasem fogjuk megtudni a választ. Szerencsére nem lett igaza: 1934-ben A. O. Gelfond bebizonyította Hilbert sejtését.

IV. Prímvadászat

De térjünk vissza a prímszámokhoz! A kívülállók részéről talán felmerülhet a kérdés, hogy miért kell új és új tökéletes számokra vadászni? Miért kell egyre nagyobb Mersenne-prímet találni? Egyáltalán, miért érdekes, hogy van-e végtelen sok tökéletes szám? Attól tartok, hogy ezekre a kérdésekre nem nagyon lehet érdemben válaszolni. Miért akarják a hegymászók megmászni a hegyeket? Miért akarnak a felfedezők a legnagyobb áldozatok árán új tájakat felfedezni? Miért akarnak a fizikusok új szubelemi részecskéket találni? Miért akar sok ezer ember új rekordokat elérni nemegyszer hihetetlen szenvedések árán? Erre nincs válasz, az evolúció ilyennek alkotott minket, ha nem ilyenek lennénk, akkor nem lennénk.

A matematikusok absztrakt, "elgondolt" dolgokkal foglalkoznak, és ezek között mindig is különleges helyet foglaltak el a prímszámok. Új, még nem ismert prímszámok megtalálása ugyanolyan izgalmas, mint megmászni egy még magasabb hegyet. De szerencsére ezt nem is kell magyarázni, mert egy új prímszám megtalálása tényleg új rekordot jelent a szó populáris értelmében is, az eredmény bekerül a Guinness rekordok könyvébe, újsághír lesz belőle, és nemegyszer még bélyeget is kibocsátanak az esemény alkalmából.

A nagyobb és nagyobb prímszámok vadászata általában egybeesik az új Mersenne-prímek keresésével. Ennek az az oka, hogy a 19. században megalkottak egy egyszerű tesztet, amivel egy  alakú számról eldönthető, hogy prím-e vagy sem. A számítógépek pedig amúgy is kettes számrendszerben dolgoznak, tehát a 2-hatványokkal különösen gyorsan tudnak számolni. A legnagyobb ismert prím nagysága (7. ábra) egyfajta mérőszámát adja a pillanatnyilag elérhető számítógépes kapacitásnak és gyorsaságnak. Tehát egyáltalán nem haszontalan információ, mert összevetve a korábbi rekordokkal azonnal látható, hogy hányadán állunk ebben a tekintetben. A jelenleg ismert legnagyobb prímnek csaknem tízmillió számjegye van. A http://primes.utm.edu/ weboldalon még egy előrejelzést is láthatunk: eszerint 2015-ig valószínűleg találunk egy százmillió jegyű prímet, 2024-ig pedig egy egymilliárd jegyű prímet.
Itt meg kell jegyezni, hogy egészen más dolog nagy számokról eldönteni, hogy prímek-e, illetve nagy számokat felbontani prímtényezők szorzatára. Az utóbbi nagyságrendekkel nehezebb probléma. Hiába tudjuk ma eldönteni, hogy egy sokmillió jegyből álló szám prím-e vagy sem, egy több ezer jeggyel leírt szám prímtényezős felbontása már meghaladja a képességeinket. Ennek a részleteiről hallottunk Lovász László előadásában.

V. Gauss sejtése

A prímek vonzerejét nem kis részben az adja, hogy látszólag össze-vissza helyezkednek el a számok között, nincs olyan egyszerű képlet vagy szabály, amelynek alapján a prímek sorozatát legyárthatnánk. (Ha volna ilyen, nem kellene vadászni rájuk.) Ezért a matematikusok táblázatokat készítettek a prímekről. Az első nagyobb ilyen táblázatot 1668-ban készítették, ez 100 000-ig tartalmazta a számok prímtényezős felbontását. A 18. század végére elkészült egy táblázat a prímekről 400 000-ig, ezt 1817-re kiterjesztették 3 000 000-ig. Az ifjú Gauss (ekkor még nem volt 15 éves) a rendelkezésére álló prímtáblázatok alapján nekiállt és számolni kezdte a prímeket, hogy legalább valamilyen statisztikus szabályt próbáljon találni. A számokat 1000-es csoportokba osztotta, és megszámolta, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott csoportban hány prím van. A kapott eredmény a 8. ábrán látható grafikonhoz hasonlatos.
A tendencia világos: az ezres csoportokban egyre kevesebb prím van (ha nem is kivétel nélkül). De látható-e valamilyen számszerűsíthető, képletben kifejezhető szabály? Vajon közülünk hányan lennének képesek a fenti (akár sokmillióig kiterjesztett) táblázat alapján egy ilyen összefüggést megsejteni? Merthogy a 15 éves Gauss a 18. század végén képes volt erre. Gauss egész életében, valahányszor egy új prímtáblázat megjelent, mindig ellenőrizte, hogy az új numerikus adatok alátámasztják-e a 15 éves korában megsejtett összefüggést. Ez pedig úgy szól, hogy az [a,b] intervallumba eső prímek száma (feltéve, hogy b-a elég nagy, de b-hez viszonyítva kicsi) körülbelül , ahol log az ún. természetes alapú logaritmus, amelynek az alapszáma e=2,718281828459045... (Ez az a szám, amelyről Hermite kimutatta, hogy transzcendens.) A következő animáción azt láthatjuk, hogy a 9. ábrán szereplő értékeket hogyan közelíti ez a képlet.
Animáció ^|4}| : Gauss sejtése

Látható, hogy a közelítés pontos, és a sejtést a nagyobb számokra vonatkozó numerikus adatok is alátámasztják. Gauss ennek alapján a következőképpen becsülte meg egy x szám alatti prímek számát: az animáció segítségével látható, hogy a prímek száma x-ig körülbelül az  függvény görbéje alatti terület 2-től x-ig. (Azért csak 2-től, mert az 1/log függvény 0 és 1 között negatív, 1 és 2 között pedig túl nagy, ami eltorzítaná a kis értékekre vett közelítést.)
Animáció ^|5}| : Gauss becslése egy adott x számnál kisebb prímek számára

A függvénygrafikon alatti területet a matematikusok integrálnak nevezik, és úgy jelölik, hogy
 .
Ez a függvény máshol is felbukkan a matematikában, ezért önálló jelölést és elnevezést vezettek be a számára: ez az integrál-logaritmus függvény, a jele pedig Li(x). Gauss sejtése tehát úgy szól, hogy a prímszámok száma x-ig (ezt (x)-szel jelöljük) körülbelül Li(x). De mit jelentsen itt a körülbelül? A legkevesebb, amit elvárhatunk, hogy nagyságrendileg azonosak legyenek. Ezt először Pafnutyij Lvovics Csebisev orosz matematikus bizonyította be 1850 körül. De Gauss többet sejtett: szerinte Li(x) olyan jól közelíti (x)-et, hogy a relatív hiba egyre elenyészőbb, azaz a (x)-Li(x) hiba (x)-hez viszonyítva 0-hoz tart. Ezt az állítást prímszámtételnek nevezzük.

VI. Az Első Számú Megoldatlan Probléma: a Riemann-sejtés

1859-ben Bernhard Riemann (9. ábra) írt egy dolgozatot, amelyben a matematika egyik, a számelmélettől látszólag távol eső területét, a komplex függvénytant vetette be a prímszámok vizsgálatába. Komplex függvénytani nyelven egy formulát vezetett le a prímek számára, amelyből a prímszámtétel azonnal következett. Pontosabban következett volna, ugyanis a dolgozat (levezetések nélkül) inkább csak egy programot vázolt a formula bizonyítására. Riemann rövid élete során a matematika több területén tett korszakalkotó felfedezéseket. Ez a dolgozata is ilyen volt. De a kérdéshez nyilvános publikációban nem tért vissza többé, és 1866-ban 39 éves korában meghalt.

A matematikusok világának több évtizedre volt szüksége, hogy Riemannt utolérje. Sokan vetették rá magukat a Riemann által vázolt programra. A prímszámtétel a 19. század végén a leghíresebb matematikai probléma lett, és mindenki tudta, hogy aki a prímszámtételt bebizonyítja, az halhatatlan lesz. Végül is két francia matematikus, Jacques Hadamard és de la Vallée Poussin egyszerre ért célba, egymástól függetlenül. A dolgozataikat 1896-ban publikálták, és ezzel a prímszámtétel sejtésből bizonyossággá vált. (Hadamard és  de la Vallée Poussin neve ezzel csakugyan halhatatlanná vált. Ők maguk hosszú életet kaptak: Hadamard 98, de la Vallée Poussin pedig 96 évesen hunyt el.)

A numerikus adatok azt sejtetik, hogy Li(x) még a prímszámtétel állításánál is jobban közelíti (x)-et. Az, hogy a relatív hiba 0-hoz tart, csak azt jelenti, hogy (x) és Li(x) egyre több számjegye lesz azonos. De a táblázatok azt sugallják, hogy valójában (x) és Li(x) számjegyeinek durván a fele azonos! Vagyis, a (x)-Li(x) hiba alig több, mint 

(10. ábra).

Riemann az 1859-ben írt dolgozatában megfogalmazott egy komplex függvénytani sejtést. Ebből a sejtésből, kombinálva azt a (x)-re adott formulával, levezethető, hogy Li(x) a fent leírt pontossággal közelíti meg (x)-et. Később belátták, hogy a közelítésre vonatkozó állításból következik Riemann sejtése. A sejtés tehát azzal ekvivalens, hogy (x) és Li(x) relatív hibája csak szemernyivel lehet nagyobb, mint . Hogy egészen precízek legyünk: minden >0 számra igaz, hogy
,
ha x elég nagy. Ez a híres Riemann-sejtés. A sejtést Hilbert természetesen bevette a 23 legfontosabb probléma közé. De valójában olyan fontosnak tartotta, hogy egyszer, amikor megkérdezték, hogy ha halála után 100 évvel feltámadhatna, akkor mi lenne az első kérdése, így válaszolt: az, hogy megoldották-e a Riemann-sejtést. A közmegegyezés szerint ma is ezt tartják az Első Számú Megoldatlan Problémának a matematikában. 2000 májusában a Clay Mathematical Institute közzétett hét megoldatlan problémát, amelyeket egy vezető matematikusokból álló grémium a 21. század legfontosabb megoldásra váró kérdéseinek ítélt. A problémák bármelyikének megoldásáért a Clay Intézet egymillió dollárt ítél oda. A Riemann-sejtés természetesen köztük van. (Az érdeklődők figyelmébe ajánlom a "millenniumi problémák" honlapját.)

A problémák közül az ún. Birch-Swinnerton-Dyer-sejtésről már hallottunk Rónyai Lajos előadásában. Idei hír, hogy az egyik problémát, az ún. Poincaré-sejtést megoldották.  A megoldásban Perelmann orosz matematikus vállalt oroszlánrészt, akinek az idén augusztusban tartott Matematikusok Nemzetközi Kongresszusa ezért odaítélte a Fields-érmet (amelyet néha matematikai Nobel-díjként is emlegetnek, bár attól több tekintetben különbözik: a Fields-érmet négy évenként ítéli oda a Matematikusok Nemzetközi Kongresszusa, és csak 40 évnél fiatalabb matematikusok nyerhetik el).

VII. Gödel tétele, avagy tudomány vagy művészet a matematika?

De vajon megoldható-e minden matematikai probléma? Itt két kérdéssel kell szembenéznünk. Az egyik (praktikus) kérdés az, hogy egy probléma megoldása olyan bonyolult és olyan hosszú lehet, hogy soha nem fogunk rátalálni. A csoportelmélet egy régi problémája volt az ún. véges egyszerű csoportok osztályozása. Ezt a problémát nemrégiben megoldották: a megoldás leírva több mint 1000 oldal. Fermat híres sejtését Andrew Wiles 1994-ben megoldotta (ezzel részletesebben foglalkozik Rónyai Lajos előadásában). A megoldása leírva 200 oldal, de ha hozzávesszük a teljes elméletet a szükséges előzetes tudnivalókkal együtt, ennek a sokszorosát kapjuk. Ugyanez érvényes a Poincaré-sejtés Perelmann-féle megoldására. Ezek a számok egy bölcsész számára talán nem tűnnek elrettentőnek, de gondoljunk bele, hogy a matematikai szövegek nagyon tömörek; minden képlet, minden sor akár órákig tartó meggondolást igényelhet. Egy 20 oldalas dolgozat már kényelmetlenül hosszúnak számít. Riemann korszakalkotó dolgozata, amely a Riemann-sejtést is tartalmazza 7 oldalnyi.

Korántsem elképzelhetetlen, hogy egy probléma legrövidebb megoldása is hosszabb lehet, mint amit egy emberélet alatt meg lehetne találni. És hiába kollektív tudomány a matematika, hiába használhatjuk fel az elődeink eredményeit, végül is könnyen lehet, hogy az emberiség életkora is véges, és így sosem találunk meg egy olyan megoldást, amelynek a megértése (a felfedezése meg különösen) még ennél is hosszabb időt venne igénybe. Ez olyan lehetőség, amelyen nem tudunk segíteni, tehát bele kell nyugodnunk.

Ettől azonban még elképzelhető volna, hogy legalábbis elvben (és ha volna rá elég időnk) minden problémát meg tudunk oldani. David Hilbert életének legnagyobb részében szilárdan hitt ebben. Az 1900-as párizsi előadásában is kifejtette azt a meggyőződését, hogy előbb-utóbb minden szabatosan megfogalmazott problémát meg tudunk oldani. Vagy úgy, hogy megtaláljuk a megoldáshoz vezető módszert, vagy pedig úgy, hogy bebizonyítjuk a megoldás lehetetlenségét, ahogy az a klasszikus geometriai problémák esetében történt. Hilbert egész életében propagálta ezt a nézetet, és egyik célja volt, hogy az egész matematika axiomatikus alapokra való helyezésével belássa, hogy minden probléma megoldható. Erről szól jelmondata, mely a síremlékén is olvasható (11. ábra): "Wir müssen wissen, wir werden wissen" ("Tudnunk kell - tudni fogunk").

Ezért óriási szenzációt keltett, amikor 1930-ban Kurt Gödel (12. ábra) bebizonyította, hogy Hilbert célja elérhetetlen: minden "valamirevaló" axiómarendszerben vannak olyan állítások, amelyeket sem bizonyítani, sem cáfolni nem lehet az adott rendszerben. Ez a szenzáció a matematikán kívül még ma sem ült el egészen. A matematikusok hamar túltették magukat ezen a fejleményen. (A matematikusok a kellemetlen tényekkel való szembenézésben verhetetlenek. Mindenkinek hasznára válna, ha legalább ebben a tekintetben követné őket.) A helyzet az, hogy Gödel tétele egyáltalán nem érinti a matematikai igazságok abszolút voltát. Ha egy matematikai igazság bizonyítást nyer, éppúgy abszolút és örök érvényű marad Gödel tétele után, mint volt Gödel tétele előtt. A különbség abban áll, hogy egy problémát vizsgálva nem tudhatjuk eleve, hogy megoldható problémával állunk-e szemben, vagy pedig olyannal, amit elvileg sem lehet eldönteni. Ez tulajdonképpen a matematikai kutatást még izgalmasabbá teszi. Egyes területeken (a halmazelméletben, a topológiában, az analízisben) nem is olyan ritka, hogy egy problémáról kiderül, hogy sem bizonyítani, sem pedig cáfolni nem lehet az adott axiómákat elfogadva. Ha egy ilyen kérdés fontos vagy sokszor felbukkan, akkor axiómaként kell kezelnünk, és meg kell vizsgálnunk a következményeit, és ugyanezt kell tennünk a tagadását feltételezve. Így elméletek egy színes együttese jön létre, amelyek logikai kapcsolata külön vizsgálatok tárgyát képezi.

A számelméletben még nem találkoztunk olyan kérdésekkel, amelyekről bebizonyosodott volna, hogy eldönthetetlenek. Gödel bebizonyította, hogy ilyen kérdések vannak, sőt a bizonyításában konstruált is ilyen állításokat. Ezek azonban bonyolult, technikai jellegű állítások, és nem a számok relatíve egyszerű tulajdonságait firtató, áttekinthetően megfogalmazott kérdések, mint amilyen például a végtelen sok tökéletes szám létezésére vonatkozó probléma. De nem kételkedhetünk abban, hogy ilyen problémák is lehetnek eldönthetetlenek.

De vajon olyan nagy baj ez? Mit jelentett volna, ha Hilbert álma igaznak bizonyul? Azt, hogy a matematikai állítások eldöntése algoritmikusan megoldható. Más szóval, hogy kész recept, automatikus eljárás létezne minden probléma eldöntésére, és hogy ezt végső soron egy komputer, egy gép is el tudja végezni. Gödel megmutatta, hogy nem ez a helyzet, vagyis az ember leleményessége és intuíciója nem nélkülözhető a matematikai kutatásokban. Végül is Gödel csak azt bizonyította, amit minden matematikus amúgy is tudott, vagyis hogy a matematika nemcsak tudomány, hanem művészet is.