Bevezető

A környezetünkben minden élőlény és tárgy nagy számú és sokféle alkotóelemből épül fel. Ezek az alkotóelemek egymással kölcsönhatásba lépnek. A statisztikus fizika egyik központi kérdése az, hogy ha egymással kölcsönhatásban álló elemekből létrejön egy nagyobb egység, akkor a nagyobb egység viselkedése leírható-e anélkül, hogy az egyes alkotóelemek viselkedését külön-külön leírnánk. Az egyszerű, élettelen elemekből álló rendszerekben a válasz gyakran ismert. Egy pohár víz fagyását részletesen le tudjuk írni annak ellenére, hogy a fagyás során az összes vízmolekulát nem tudjuk követni.
A statisztikus fizika matematikai eszközei és a számítógépek fejlődése nyomán napjainkra már a bonyolultabb, élő alkotóelemekből álló rendszerek - baktériumtelepek, madárrajok vagy akár embercsoportok - vizsgálata is lehetővé vált. Az élő rendszerek egyik legfontosabb tulajdonsága a mozgás, ami a rendezetlen és rendezett állapotok közötti átmenetek új fajtáit teszi lehetővé. Egyes baktériumok milliói képesek egyetlen forgó tömegbe rendeződni, akárcsak a mekkai Kába követ körbejáró zarándokok; a megijesztett galambok egy-két másodpercen belül rendezetten, azonos irányban fognak repülni; a különböző irányokban haladó gyalogosok pedig gyakran haladási irányaik szerinti csoportokra válnak szét.

A rend és a rendezetlenség formái a fizikában

Átmenet a rend és a rendezetlenség között

Vizsgáljuk most a rendet és a rendezetlenséget egy térbeli példán. Az ábra felnagyítható változatának bal oldalán a világoskék területen kis sötét négyzeteket láthatunk kristályos rendben. Ehhez az elrendezéshez egyetlen, nagyon egyszerű szabályt elegendő ismernünk: egy szabályos rács csúcsaiba kell leraknunk a pontokat. A jobb oldali ábrán ugyanezek a négyzetek véletlenszerűen helyezkednek el; ennek az elrendezésnek a szabálya szintén egyszerű, hiszen minden pontot teljesen véletlenszerűen raktunk le. Tehát a teljesen rendezett és a teljesen rendezetlen elrendezés is megadható egy-egy egyszerű szabállyal. A középső ábra a rend és a rendezetlenség között félúton lévő elrendezést mutat: egy bonyolult mintát, amit egy egyszerű szabállyal nem lehet megadni.
Egy egyszerű átalakulás vizsgálata
Az átalakulások gyakran geometriailag is igen érdekes alakzatokat produkálnak. Példaként vizsgáljunk meg egy igen egyszerű és jól ismert átalakulást. Egy négyzet alakú területet kezdjünk el feltölteni véletlenszerűen elhelyezett korongokkal. (A korongokat egy képzeletbeli négyzetrács csúcspontjaira helyezzük.) Kezdetben a négyzeten belül rendezetlen pontok halmazát látjuk, ha pedig túl sokáig várunk, akkor már csak egy teljesen feltöltött négyzetet látunk. Valahol a két szélsőséges helyzet között lesz egy olyan pillanat, amikor megjelenik egy csoport, amelyik egymással érintkező korongokból áll, és a négyzet két átellenes oldalát összeköti. Az átalakulási pontnál (tehát amikor megjelenik ez a csoport) a csoport szerkezete ágas-bogas, fraktál.
Videó ^|1}| - Perkoláció (mpg, 11,2MB)
Az érdekes dolgok az átmenetnél történnek
Az átmenetek legtöbbször fázisátalakulással járnak: a fagyás során a folyékony halmazállapotú víz kristályos jéggé alakul. (Másképpen fogalmazva: a hőmérséklet csökkentése során az anyag a folyékony fázisból átmegy a szilárd fázisba.) A rácsszerű rendezettség és a rendezetlen szerkezet közötti átmenetre jó példát adnak az olyan, növekedéssel kialakuló ágas-bogas szerkezetek, mint a hópehely, de hasonló átalakulási jelenségek figyelhetőek meg élő rendszerekben is. Az élő rendszerek fontos tulajdonsága az önszerveződés: ezek a rendszerek saját maguk külső beavatkozás nélkül alakítják ki összetett szerkezetüket.

Fraktálok

Térjünk rá az átalakulás során kialakuló szerkezetekre, amelyek gyakran ágas-bogas fraktálok. Miben különbözik egy fraktál szerkezete egy szokásos alakzattól, például egy egyenes rúdtól, egy körlaptól vagy egy gömbtől? Ha egy rúd hosszát [R], növelem, akkor a tömege R-rel arányosan nő. Ha egy körlap sugara R, akkor a területe R négyzet szorozva pi-vel, tehát a körlap tömege R négyzetével arányos. Hasonlóan az R sugarú gömb tömege R harmadik hatványával arányos. Általánosabban: a hétköznapi testek esetében a test méretének [R-nek] a növelésével a test tömege R első, második, vagy harmadik hatványa szerint nő, tehát az arányosságot egy pozitív egész szám (1, 2 vagy 3) írja le. Ezt a pozitív egészt a tárgy dimenziójának hívják; a rúd egydimenziós, a körlap kétdimenziós, a gömb pedig három. A fraktálok esetében ez a hatvány egy törtszám.
Konstruáljunk fraktált!
Rajzoljunk föl egy négyzetet, majd a négy sarkához illesszünk négy ugyanolyan négyzetet. Így öt négyzetet kapunk, melyek a sarkaiknál érintkeznek egymással. Most fogjuk meg ezt az öt négyzetből álló egységet, és ismételjük meg a korábbi másolást: az ábra négy sarkához másoljuk be a teljes ábrát. Ismételjük meg ezt a két lépést sokszor: 1) fogjuk meg a teljes ábrát; 2) másoljuk le a megfogott ábrát a meglévő ábra négy sarkához. A rajzolás közben természetesen folyamatosan kicsinyítenünk is kell az ábrát, hogy a papírunkra ráférjen. Az így kapott alakzat egy idő után hópehelyszerűnek tűnik, és bármilyen apró részlete nagyon hasonlóan néz ki a teljes ábrához. A fraktálok önhasonlóak.

|3| |4| |5|

Három példa fraktálnövekedésre
Most három olyan példát mutatok be, amelyeket egymástól nagyon különböző rendszerekben lehet megfigyelni, mégis a kialakuló fraktálszerkezet igen hasonló mindhárom esetben. Az első példa egy laboratóriumi kísérletet mutat, amelyben fémgolyócskákat tartalmazó vékony folyadékrétegbe egy központi lyukon keresztül levegőt fújunk be; a kialakuló buborék ágas-bogas fraktál. A második példa egy kínai folyóvölgy-hálózatot mutat: az ábra fehér részein hó borítja a hegyeket, a barna részeken pedig folyóvölgyek vannak. A harmadik példában baktériumtelepeket láthatunk. Ebben az esetben a táplálékszerzés szempontjából optimális a fraktálszerkezet; ilyen szerkezet mellett a baktérium-kolónia felülete nagy, ami elősegíti a környezetben lévő tápanyagok felvételét. Tehát egyik fontos következtetésünk az, hogy egymástól igen távoli (akár élettelen, akár élő) rendszerekben az átalakulások során igen hasonló szerkezetek jöhetnek létre.

|6| |7|

Még egy érdekes példa: amőbák rendeződése során kialakuló mintázatok
A Dictyostelium discoideum nevű amőbák erdei talajban élnek és az abban levő baktériumokkal táplálkoznak. Táplálékdús környezetben egymásról tudomást sem vesznek. Ha azonban elfogy a tápanyag, beindul a sejtek közötti kommunikáció, és a sejtek együttes mozgásukat - idegen szóval: kollektív mozgásukat - összehangolják. Az összehangolt mozgás eredményeképpen a sejtek nagyobb csomókba gyűlnek össze, és együtt keresnek táplálékot. Az átalakulás során érdekes, ágas-bogas alakzatokat figyelhetünk meg: az amőbák a folyómedrekhez hasonló útvonalak mentén gyűlnek össze.
Videó ^|2}| - Amőbák aggregációja (mpg, 6,25MB)

A megértés új eszköze: a modellezés (A fraktálnövekedés, a vastaps és a mexikói hullám modellezése)

A fraktálnövekedés alapmodellje

A fraktálnövekedés egyik legfontosabb matematikai modellje a következő. Helyezzünk el egy kör középpontjában egy darab részecskét. Ezután indítsunk el egy véletlenszerűen bolyongó részecskét a kör kerületéről. Ha a bolyongó részecske mozgása során hozzáér a középen lévő részecskéhez (illetve az ott korábban lerakódott részecskékhez), akkor odatapad, többé nem mozdul, és újabb bolyongó részecskét indítunk a kör kerületéről. Egy részecske véletlenszerű bolyongása szorosan kapcsolódik a diffúzió nevű jelenséghez, a megtapadást pedig idegen szóval aggregációnak nevezik. Ezért a bemutatott modell neve diffúzió-limitált aggregáció. A modell egyik fontos tulajdonsága az önszerveződés: a videón látott alakzatok külső beavatkozás nélkül jönnek létre.
Videó ^|3}| - A fraktálnövekedés alapmodellje (mpg, 22,5MB)
Rendeződés időben: szinkronizáció
Vizsgáljuk meg most az időbeli rendeződést is a már jól bevált módszerrel:
1. Először elemezzük a jelenségeket több szempontból.
2. Utána alkossunk modellt.
3. Végül pedig vizsgáljuk meg, hogy a modell képes-e a jelenségnek olyan elemeit megjósolni, amelyeket a modellalkotás során nem használtunk fel.
Az időbeli rendeződés (idegen szóval: szinkronizáció) a természetben gyakori jelenség. Mindannyian jól ismerjük az egymással szinkronban ciripelő tücskök hangját, közismert az is, hogy a szív sejtjei egymással összehangolva húzódnak össze, és egy-egy jó előadás után már sokan vettünk részt vastapsban, amikor szomszédainkkal szinkronizálva tapsoltunk.

Vastaps: az emberi viselkedés szinkronizációja, és a szinkronizáció kvantitatív elemzése

A filmen egy előadás utáni tapsvihart láthatunk, amelyben az emberek először rendezetlenül tapsolnak, majd hirtelen (szinte "varázsütésre") létrejön a vastaps. A vastaps egy kis idő múlva ismét rendezetlen tapsolásba torkollik, majd újból megjelenik. A mérések szerint a vastaps során minden ember fele olyan gyorsan tapsol, mint a rendezetlen tapsolás alatt. Másképp fogalmazva: a tapsolás periódusideje vastaps során kétszer akkora, mint a rendezetlen tapsolás során. A vastapsra megalkotott matematikai modell alátámasztja a perióduskettőzést.
Videó ^|4}| - Színházi vastaps (mpg, 26,7MB)
Mexikói hullám: az emberek térbeli és időbeli rendeződése
A térbeli és időbeli rendeződés egyik érdekes példája a mexikói hullám, amelyet stadionokban figyelhetünk meg olyankor, amikor a közönség a mérkőzés unalmasabb szakaszaiban önmagát akarja szórakoztatni. A lelátón egymás felett - egy oszlopban - ülők egyszerre felugranak, és még mielőtt leülnének, a mellettük lévők is átveszik a mozgást: és az álló emberek oszlopa a stadionban körbeszalad. Kutatásaink során 14 mexikói hullámról készült felvételt elemeztünk, amelyeknél az adott stadionban ötvenezer vagy több ember ült. Több más fontos paraméter mellett megmértük a hullám átlagos sebességét (12 m/s) és szélességét (10m).
Videó ^|5}| - Mexikói hullám felvétele stadionban (mpg, 4,8MB)
A mexikói hullám modellje
A mexikói hullám modellezése során a gerjeszthető közegekre használt, jól ismert modellekbe csupán néhány kisebb változtatást vezettünk be. A gerjeszthető közegek modelljeit leggyakrabban idegsejtek működésének leírására és kémiai reakciók modellezésére használják. A modell szempontjából egy idegsejtnek vagy egy kémiai oldatnak háromféle állapota lehetséges: gerjeszthető, aktív és nem gerjeszthető (ez utóbbit szokás passzív vagy refrakter állapotnak is nevezni). Az emberek mozgása során ezt a modellt a következőképp használtuk fel. Minden emberre csak a közeli szomszédai hatnak, és ha elegendő számú szomszédja aktív (áll vagy éppen most ugrik talpra), akkor ő is aktiválódik (elkezd felállni).
A hullám két oldala különböző: a hullám egyik oldalán éppen felugranak az emberek, míg a másik oldalán éppen leülnek. A felugró emberek oldalán növekszik a hullám, tehát az a hullám eleje, míg a másik oldalon a leülő emberek az éppen befejezett felugrás után egy ideig nem szeretnének újból felállni, tehát azon az oldalon csak fogyhat a hullám, az a hullám hátsó oldala. Az alábbi videókon bemutatom a mexikói hullám számítógépes szimulációját egy nagyított képen, ahol egyes emberek is látszanak, majd pedig egy olyan képen, ahol a teljes stadion látszik.
Videó ^|6}| - Közeli kép mexikói hullám számítógépes szimulációjáról (avi, 12,7MB)
Videó ^|7}| - Teljes kép mexikói hullám számítógépes szimulációjáról (mpg, 20,8MB)

Rendeződés mozgás során

Amikor a madárcsapat felrebben
Ijesszünk meg egy nagy madárcsapatot hangos tapssal. Amikor a madárcsapat felrebben, minden madár repül, amerre lát. Ám legtöbbször néhány másodpercen belül a madarak mozgása rendeződik, és a teljes madárcsapat azonos irányba kezd mozogni.

A rendeződés oka a mozgás. Megfigyelhetjük például azt, hogy ha sok galamb vagy sok kiskacsa álldogál egy nagy területen, akkor mindegyik madár megpróbál a hozzá közel lévőkkel azonos irányba fordulni. De ha két madár egymástól távol áll, akkor már nem "érzik" elég erősen egymás hatását: mindig egymástól eltérő irányokba fordulnak, és a teljes madárcsapat rendezetlen marad. Ha viszont minden madár mozogni - például repülni - kezd abba az irányba, amerre éppen áll, akkor a mozgó egyedek távolabbi szomszédaikkal is találkoznak, és velük is egyeztetni tudják mozgási irányukat. Végül pedig a mozgás során a teljes madárcsoport rendeződik vagy néhány nagyobb csoportra szakad.
Videó ^|8}| - Gyors mozgás során gyors a csoportbarendeződés (madárrajok számítógépes szimulációja) (mpg, 11MB)
Videó ^|9}| - Lassú mogás során lassú a csoportbarendeződés (mpg, 16,9MB)
Példák mozgás rendeződésére: forgó baktériumtelepek és zarándokok a Kába kő körül
A mozgás során történő rendeződés közismert példája a Kába követ minden évben meglátogató zarándokok mozgása, vagy az a körkörös mozgás, amely egy zsúfolt műjégpályán kialakul. Mindkét esetben a zárt területen a legegyszerűbb rendezett, csoportos mozgás valósul meg: a kör mentén történő, azonos irányú haladás. Ennek a betartását a Kába kő és egy műjégpálya esetén is külön szabályok garantálják. (A Kába követ meglátogató zarándokok számára vallási előírás, hogy a követ hétszer megkerüljék, és a zsúfolt műjégpályákon szintén van kötelező haladási irány.)
Videó ^|10}| - Zarándokok a Kába kő körül (mpg, 13MB)
Egy, az emberek mozgásához hasonló példa megfigyelhető baktériumoknál is: a zárt területen folyamatosan mozgó baktériumok esetén szintén a körkörös mozgás a legstabilabb csoportos mozgási forma.
Videó ^|11}| - Forgó baktériumtelep a mikroszkóp alatt (mpg, 20,4MB)

Embercsoportok mozgása

Ha sok ember, például a gyalogosok együttes mozgását vizsgáljuk, akkor sokszor a baktériumoknál és a madaraknál vagy akár az élettelen kristályoknál látott rendeződési jelenségek köszönnek vissza. A gyalogosok mozgásuk során egymástól és a falaktól, oszlopoktól próbálnak számukra kényelmes távolságot tartani. Ez a törekvés matematikailag kifejezhető emberi tulajdonságok nélkül is: ha a modellben minden embert egy részecskének tekintünk, akkor ugyanolyan taszítóerő kell, hogy hasson az emberek között, mint egy kristályban két atom között. Ha két ember összeütközik, akkor rugalmas taszítóerő hat köztük, akárcsak két összenyomott gumilabda között.
Embercsoport-kristály
Az élettelen rendszereknél megismert kristályos szerkezet embereknél is megfigyelhető. A fénykép egy gyógyvizes fürdőmedencében álldogáló és beszélgető embereket mutat. Minden ember próbál számára kényelmes távolságot tartani a szomszédaitól. Ennek eredményeképp az emberek egy háromszöges kristályrács pontjai szerint rendeződnek; a fényképen a kristályrács egyes sorai jól látszanak.

|12| |13| |14|

Szemben haladó emberek
A mozgás közben történő rendeződés gyalogosoknál gyakran tapasztalható. Ha néhány ember egy sűrű, nagy tömeg egyik végéről a másikra át akar jutni, akkor az első mögé rendeződve, egymást követve törnek utat maguknak. Ugyanez a jelenség figyelhető meg folyosókon és gyalogátkelőhelyeken is azzal a különbséggel, hogy ilyenkor mindenki az összesen két lehetséges haladási irány egyike felé szeretne mozogni.
A kialakuló mozgási mintázatok a speciális emberi tulajdonságok nélkül is létrejönnek: nincs szükség az udvariasság (vagy udvariatlanság), a két lábon járás vagy a "jobbra tarts" szabályának figyelembe vételére ahhoz, hogy ugyanazokat a gyalogosfolyamokat kapjuk a matematikai modellből. Csupán két - matematikai egyenletekkel leírható - szabályra van szükség: minden gyalogos törekszik arra, hogy a többiektől megfelelő távolságot tartson, és hogy az elérni kívánt célja felé haladjon.
Ha a gyalogossűrűség alacsony, akkor a kialakuló gyalogosfolyamok egymást nem zavarják, és a tér- és időbeli rendezettség stabil, hosszú ideig fennmarad. Ha viszont egy folyosón sok a gyalogos, akkor a kialakuló folyamok újból és újból egymásba ütköznek, és a kialakuló mozgás rendezetlen lesz.

Videó ^|12}| - Folyosón egymással szemben haladó gyalogos szimulációja. Alacsony gyalogossűrűség esetén a kialakuló gyalogosfolyamok stabilak (mpg, 5,9MB)
Videó ^|13}| - Folyosón egymással szemben haladó gyalogosfolyamok szimulációja. Nagy sűrűség esetén a kialakuló gyalogosfolyamok felbomlanak (mpg, 8,8MB)
Pánikhelyzet szimulációja
Végül vizsgáljuk meg a csoportos emberi mozgás egy különleges esetét. Tűzesetek során gyakori, hogy egy szobában az ott lévő füst miatt az emberek a kijáratokat nem látják, és csak a hozzájuk közel lévők mozgása alapján tudnak tájékozódni. Minden ember követi az általa helyesnek vélt haladási irányt (ha falba ütközik, visszafordul), és befolyásolhatja őt a közelében lévők mozgási iránya is. Az általunk végzett számítógépes szimulációk szerint lényeges különbség tapasztalható a két szélsőséges és az átmeneti stratégia között.
Ha minden ember csak a "saját feje után" szalad, akkor teljes fejetlenség alakul ki, és kevesen találják meg az ajtót. Ha mindenki szolgai módon követi a környezetében lévő többi embert, akkor egy-egy nagy csoport könnyen követ el végzetes hibát, és valamelyik sarokban megragadhat. Ha viszont a két véglet közötti stratégiát követik az emberek - tehát minden ember saját haladási irányát egy kissé befolyásolja a szomszédok iránya -, akkor sokan megmenekülnek. Ilyenkor a követés elég erős ahhoz, hogy a kijáratot megtaláló kis csoportok kifelé áramlását "megérezzék" a bent lévők, de az egyéni döntések is még elég erősek ahhoz, hogy nagy csoportok ne kövessenek el végzetes hibát.
Videó ^|14}| - Füsttel teli szobát két ajtón elhagyni próbáló emberek számítógépes szimulációja. A szimulációban gyalogosok nem ismerik a kijáratokat, és a mindenki a "saját feje után" szalad (mpg, 1,7MB)
Videó ^|15}| - Az előzővel azonos helyzetben több gyalogos ki tud menekülni a szobából, ha minden gyalogos a saját mozgási irányukat kis mértékben mindig a hozzá közel lévők mozgási irányához igazítja (mpg, 1,6MB)
Videó ^|16}| - Minden gyalogos pontosan követi a hozzá közel esőket, ami végzetes is lehet (mpg, 1,4MB)
Ennél a példánál tehát azt tapasztaltuk, hogy a két szélsőség közötti átmenetnél lévő viselkedési forma az optimális.

*

Összefoglalásképpen elmondhatjuk, hogy a rend és a rendezetlenség határán sok érdekes, bonyolult jelenség figyelhető meg, amelyek a tudományban és mindennapi életünkben egyaránt fontos szerepet játszanak. A határon bekövetkező jelenségek kutatása és megértése a legújabb számítógépes modellek segítségével gyorsuló ütemben zajlik.
Végezetül szeretnék köszönetet mondani munkatársaimnak.